Exercices sur les séries entières

Exercice 1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :

$\begin{array}[t]{lll}% \sum\displaystyle\frac{x^{n}}{n^{n}} & \sum n^{n}x^{n} ... ...}\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & \sum\displaystyle\frac{x^{n}}{n^{4}}% \end{array}$

$\sum$ C_2nⁿx²ⁿ $\sum$ f_nxⁿ où f_n est la n ^ième décimales de e .

Exercice 2 Donner le développement en séries entières des fonctions suivantes et indiquer les rayons de convergence.

$\begin{array}[t]{ccc}% \displaystyle\frac{1}{1+x^{2}} & \arctan x & \displayst... ...\sin3x+x\cos3x & \displaystyle\ln\left( 1-\frac{x}{2x^{2}-1}\right) \end{array}$

Exercice 3 Calculer le rayon de convergence R et la somme de la série entière $\displaystyle \sum\limits_{{n=0}}^{{+\infty}}$ n²xⁿ . Etudier la convergence de la série en x = $\pm$ R . (Indication : pour calculer la somme on pourra utiliser que n² = n(n - 1) + n ).

Exercice 4 Calculer le rayon de convergence R et la somme de la série entière $\displaystyle \sum\limits_{{n=0}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle {\frac{{x^{3n+1}}}{{3n+1}}}$ . Etudier la convergence de la série en x = $\pm$ R.

Exercice 5 Soit S(x) = $\displaystyle \sum\limits_{{n=2}}^{{+\infty}}$ ${\frac{{n}}{{n^{2}-1}}}$ xⁿ .

Déterminer le rayon de convergence R de la série entière.
Montrer que pour x $\neq$ 0 on a S(x) = ${\frac{{1}}{{2}}}$ $\left[\vphantom{ \frac{1}{x}% {\displaystyle\sum\limits_{n=3}^{+\infty}} \disp... ...{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} \displaystyle\frac{x^{n}}{n}}\right.$ ${\frac{{1}}{{x}% }}$ $\displaystyle \sum\limits_{{n=3}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle {\frac{{x^{n}}}{{n}}}$ + x $\displaystyle \sum\limits_{{n=1}}^{{+\infty}}$ $\displaystyle {\frac{{x^{n}}}{{n}}}$ $\left.\vphantom{ \frac{1}{x}% {\displaystyle\sum\limits_{n=3}^{+\infty}} \disp... ...{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}} \displaystyle\frac{x^{n}}{n}}\right]$ .
Déterminer S(x).
La série converge-t-elle en $\pm$ R .